12 Mayıs 1988 tarihinde başkent Ankara’da dünyaya gelen Ramazan Köse’nin futbol kariyeri 2001 yılında Tunç Altındağ futbol kulübünün altyapısında başladı. 1.94 boyundaki kaleci 2 yıl Tunç Altındağ kulübünde oynadıktan sonra 2003 yılında Gençlerbirliği’nin altyapısına transfer oldu. 3 yıl boyunca Gençlerbirliği’nin altyapısında oynadıktan sonra 2006 yılında Gençlerbirliği’nin as takımına geçiş yaptı. Gençlerbirliği formasıyla çıktığı ilk Süper Lig maçı Gaziantepspor mücadelesi oldu.
2008 yılında 1. Lig’de mücadele eden Giresunspor’a transfer olan Ramazan Köse, 2008-2009 ve 2009-2010 futbol sezonunu 25 müsabakaya çıkaran Giresunspor’da tamamladı. Giresunspor’da daha çok forma şansı bulduğu için kalecilik tecrübesi artan Ramazan Köse, 2009-2010 sezonu için Gençlerbirliği’ne döndüğünde takımın ilk 11’inde yer almaya başladı.
29 maçta Gençlerbirliği forması giyen Ramazan Köse, 2013-2014 sezonunda 1 milyon 250 bin Euro bonservis bedeliyle Ufuk Ceylan ile yollarını ayıran Galatasaray’a transfer oldu.